permütasyan ile ilgili bili lazım

permütasyan ile ilgili bili lazım.bilen bulan,varsa ne olur yazsın.

hangi deönemde ortaya çıkmıştır?

ilk kimler kullanmıştır?

günlük yaşamdakullanım alanları var mıdır?

gibi

Permütasyon

Kaynak:Vikipedi


Permütasyon, birbirinden ayrılabilir nesnelerin değişik sıralarda dizilmelerini ifade eden kavramdır. Örneğin, 1'den 8'e kadar numaralanmış toplar için bir permütasyon "7, 1, 5, 6, 2, 8 , 4, 3" şeklindedir.

Linkleri görüntülemek için kayıt olmalısınız

permütasyon, her sembolün sadece bir kez ya da birkaç kez kullanıldığı sıralı bir dizidir.

Permütasyonların sayılması

Eleman sayısı n olan bir kümenin içinden r kadar eleman seçerek yapılabilecek permütasyonlar aşağıdaki formülle hesaplanır:
Örneğin n elemanlı bir küme için 1'den 10'a kadar olan doğal sayıları alalım. r'yi 4 olarak alırsak, permütasyonların sayısı {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} kümesinden sırayı da gözetmek suretiyle oluşturulabilecek 4 değişik elemanlı kümelerin sayısını ifade eder.
Oluşturulacak küme sıralı olduğundan, 4 değişik elemanın olası seçilme şekillerini düşünüp, bu dörtlü dizilerin seçilme şekillerinin sayısını hesaplayabiliriz:

1. 10 elemanlı kümeden seçebileceğimiz 10 tane eleman vardır.
2. Bir eleman seçtikten sonra bir daha seçilemediğinden, ikinci elemanı seçerken elimizde 9 sayı kalır. Her ilk seçilen 10 eleman için, 9 tane ikinci eleman seçme şansımız olduğundan ikinci elemanı 10 x 9 = 90 ayrı şekilde seçebiliriz.
3. Üçüncü elemanı 10 x 9 x 8 şekilde seçebiliriz.
4. Dördüncü elemanı 10 x 9 x 8 x 7 şekilde seçebiliriz.

Bunu genelleştirip n ve r değişkenleri ile ifade edersek:

1. İlk eleman için n adet seçenek vardır.
2. İkinci eleman için n(n-1) adet seçenek vardır.
3. r kadar eleman seçmek için n(n-1)(n-2)...(n-r+1) adet seçenek vardır ki bu da yukarıda verilen formüle eşdeğerdir.

ya da;
1)PERMÜTASYON

1.1)Saymanın Temel İlkesi

Bir işlem a yoldan, bununla ilişkisi olan başka bir işlem de b yoldan yapılabiliyorsa, bu iki işlem birlikte a.b yoldan yapılabilir. Buna genel çarpma kuralı denir.

Örnek 1: A kenti ile B kenti arasında 5 değişik yol, B kenti ile C kenti arasında ise 4 değişik yol vardır. A kentinden C kentine gitmek isteyen bir kimse B’den geçmek şartıyla kaç değişik yolla gidebilir?



A








A’dan C’ye 5.4=20 değişik yolla gidilebilir. A1 yolu ile{B1,B2,B3,B4} yollarından biriyle gidilebilir. Aynı şekilde A1,A2,A3,A4 ve A5 de {B1,B2,B3,B4} yollarından biriyle gidilebileceğinden dolayı A’dan C’ye 5.4=20 farklı şekilde gidilebilir.

Örnek 2: 30 kişilik bir sınıftan bir başkan ve bir de başkan yardımcısı seçilecektir. Bu seçim kaç farklı biçimde yapılabilir?

Başkan Başkan Yardımcısı



Başkan seçilebilecek 30 kişi olduğu için, seçenek sayısı 30’dur. Başkan seçildikten sonra, geriye kalan 29 kişinin her biri başkan yardımcısı seçilebileceğinden, seçenek sayısı 29’dur. Genel çarpma kuralına göre 30.29=870 değişik biçimde seçim yapılabilir.

Örnek 3: A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanlarıyla rakamları farklı;
a) Üç basamaklı kaç çift sayı
b) Üç basamaklı kaç tek sayı
c) Üç basamaklı 10 ile bölünebilen
d) Üç basamaklı 5 ile bölünebilen kaç sayı yazılır?

a) Her basamak için bir kutu çizerek çözüme ulaşılabilir. Üç basamaklı sayı abc olsun.
Yüzler bas. Onlar bas. Birler bas.




Çift sayılar arandığına göre. C yerine 0,2,4,6,8 rakamlarından biri gelebilir. Sıfır birler basamağında kullanılabilir, ancak yüzler basamağında kullanılmamalıdır. Bu yüzden bu iki durumun ayrı ayrı incelenmesi gerekir.
1) Sıfır ile biten üç basamaklı çift sayılar bulunmak istendiğinde;


Sadece “0” gelecek

Birler basamağı için tek seçim yapabiliriz (0 rakamı). Bu işlemden sonra kalan 9 rakamdan biri yüzler basamağına ve kalan 8 rakamdan biri onlar basamağına yazılabilir. Böylece “0” ile biten çift sayılar 9.8.1=72 tanedir.


2) 2,4,6,8 ile biten çift sayılar bulunmak istendiğinde;



(2,4,6,8 den biri)

Bu durumda birler basamağına (2,4,6,8) den biri gelebilir. Yüzler basamağına “0” gelemeyeceği için kalan 8 rakamdan biri yüzler basamağına yazılabilir. Onlar basamağına “0” gelebileceği için de buraya 8 rakamdan biri gelebilir. Bu durumda 8.8.4=256

Dolayısıyla üç basamaklı toplam 256+72=328 çift sayı yazılabilir.

b) Üç basamaklı birbirinden farklı kaç tek sayı;


(1,3,5,7,9)dan biri

Birler basamağına 1,3,5,7,9 dan biri gelebilir. Yüzler basamağına “0” gelemeyeceği için kalan 8 rakamdan biri, onlar basamağına ise “0” dahil kalan 8 rakamdan biri gelebilir. Buna göre 8.8.5=320 tek sayı yazılabilir.

c) Üç basamaklı birbirinden farklı 10 ile bölünebilen;


Sadece “0” gelebilir

Bir sayının 10 ile bölünebilmesi için birler basamağının “0” olması gerekir. Yüzler basamağına geri kalan 9 rakamdan biri, onlar basamağına ise kalan 8 rakamdan biri gelebilir. Buna göre 9.8.1=72 tane 10 ile bölünebilen sayı vardır.
d) Üç basamaklı birbirinden farklı 5 ile bölünebilen;
Bir sayının 5 ile bölünebilmesi için birler basamağının ya “0” ya da “5” olması gerekir.
• Birler basamağına “0” gelirse
9.8.1=72

• Birler basamağına “5” gelirse
8.8.1=64 ( Yüzler basamağına “0”
gelemeyeceğinden kalan 8
rakamdan biri atanır. Onlar
basamağına ise “0” gelebilir.)

O halde, üç basamaklı 5 ile bölünebilen 72+64=136 tane sayı yazılabilir.


1.2)Faktöriyel Kavramı
n Є N+ olmak üzere 1’den n’ye kadar doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir.
n!= n. (n-1). (n-2)........1’dir.
Ayrıca 1!=1, 0!=1’dir.

n!
Örnek 1: ─── = 60 eşitliğini sağlayan n sayma sayısı kaçtır?
(n-3)!

n! n. (n-1). (n-2). (n-3)!
── = ───────────── = 60
(n-3)! (n-3)!

n. (n-1). (n-2) = 60 n=5 (5.4.3=60’dır)


Örnek 2: 5!+6! 7
──── : ─── işleminin sonucu kaçtır?
6!-5! 5

5!+6! 7 5!+6.5! 7 5! (1+6) 7 7 7
──── : ─── = ────── : ── = ────── : ─── = ─── : ── = 1
6!-5! 5 6.5!-5! 5 5! (6-1) 5 5 5


1.3) Permütasyon
Bir küme elemanlarının belli bir sıraya göre dizilişlerinin her birine “bir permütasyon” denir. N eleman yerine n yere n. (n-1). (n-2) ......1=n! şekilde sıralanır. Bu n! ifadesine n elemanın n’li sıralanması ya da n’nin n’li permütasyonu denir. O halde n elemanlı kümenin r elemanlı permütasyonlarının sayısı;
n!
P (n,r) = ────’dir.
(n-r)!

Örnek 1: P (5,5)=?
5! 5! 5!
P (5,5) = ─── = ─── = ─── = 5.4.3.2.1 =120
(5-5)! 0! 1


Örnek 2: 3P (n,3) = 2 P (n+1,3) ise n sayısını bulunuz?


n! (n+1)! n! (n+1)!
3 ── = 2 ───── 3 ─── = 2 ─────
(n-3)! (n+1-3)! (n-3)! (n-2)!


3 (n).(n-1).(n-2).(n-3)! 2.(n+1).(n).(n-1).(n-2)!
───────────── = ─────────────
(n-3)! (n-2)!


3n-6= 2n+2 n=8


Örnek 3: 4 fizik ve 5 kimya kitabı, kimya kitapları birbirinden ayrılmamak üzere bir rafa kaç değişik biçimde dizilebilir?


Kimya kitapları birbirinden ayrılmayacağı için bir kitap olarak düşünülebilir.


Bu durumda 5 kitap 5! Şekilde sıralanır. Ayrıca 5 kimya kitabı da kendi arasında 5! şekilde sıralanır. O halde tüm sıralamalar;
5! . 5! = 120 . 120 = 14.400 olur.

Dönel Sıralama ( Dairesel Permütasyon)
n tane farklı elemanın dairesel sıralamasına, n elemanın dönel sıralaması denir. Dairesel sıralamanın yapılabilmesi için elemanlardan birinin yerinin sabit tutulması gereklidir. Sıralama sayısı (n-1)!’ dir.
sabit





(n-1)!
Dairesel sıralamada yön belli değilse n eleman ──── , ( n>2) kadar sıralanır. n eleman bir
2
(n-1)!
halka veya bileziğe ──── farklı şekilde dizilirler.
2

Örnek 1: 6 kişi bir yuvarlak masa etrafına kaç değişik biçimde oturabilir?


(n-1)! (6-1)! = 5! = 120 değişik biçimde otururlar.






Örnek 2: 5 boncuk bir halkaya kaç farklı şekilde dizilirler?


(n-1)! (5-1)! 4! 4.3.2.1
──── = ──── = ── = ───── = 12 farklı şekilde dizilirler.
2 2 2 2


Örnek 3: 7 kişilik bir öğrenci grubunda Semih daima Mustafa ve Serkan isimli öğrencilerin arasında olmak şartıyla, 7 öğrenci kaç farklı şekilde yuvarlak masa etrafında otururlar?













Semih, Serkan ve Mustafa bir kişi olarak düşünülürse 5 kişi yuvarlak bir masa etrafında (5-1)! = 4! Şekilde sıralanır. İkinci şekilde olduğu gibi Serkan ve Mustafa yer değiştirince yine 5 kişi 4! Şekilde sıralanır. O halde 7 kişi Semih, Serkan ve Mustafa’nın arasında olmak şartıyla 2.4! = 2.24 = 48 farklı şekilde oturabilirler.

Tekrarlı (Yinelemeli) Permütasyon
n1 + n2 + n3 +..........................nr = n ve n1 . n2 .....nr nin her biri aynı cins eleman sayısını gösteriyorsa bu n tane eleman ;
n!
───── farklı şekilde sıralanır.
n1! n2 !....nr !




Örnek 1: KARAHİSAR kelimesindeki harflerle anlamlı ya da anlamsız 9 harfli kaç kelime yazılabilir?
KARAHİSAR kelimesinde 3 tane A, 1 tane H, 1 tane K, 1 tane İ, 2 tane R ve 1 tane S olduğu için
9! 9.8.7.6.5.4.3!
────────── = ────────── = 9.8.7.6.5.2 = 30.240 değişik kelime yazılabilir
3! . 1. 1. 1. 2! . 1 3! . 2!


Örnek 2: 334445555 sayısının rakamlarını kullanarak, 9 basamaklı kaç sayı yazılabilir?


9! 9.8.7.6.5.4!
──── = ──────── = 9.4.7.5 = 1260 değişik sayı yazılabilir.
2! 3! 4! 2.1.3.2.1.4!

ÇIKMIŞ SORULAR

1) 1993 EML : 2! . 3! . 5! İşleminin sonucu kaçtır?
──
4!

A) 40 B) 50 C) 60 D) 70


5 . 4!
2 . 1 . 3 . 2 . 1 . ──── = 12 . 5 = 60 Cevap: C
4!

x² + x
2) 1991 EML: 0! + 1! + 2! + 3! = x ise ───── aşağıdakilerden hangisidir?
x


A) 9 B) 10 C)11 D) 12


x = 0! + 1! + 2! + 3!
= 1 + 1 + 2 + 6
= 10


x² + x x ( x+1)
——— = ———— = x+1 = 10 + 1 = 11 Cevap: C
x x


3) 1992 FL: 7! + 8!
——— işleminin sonucu kaçtır?
6! + 7!


A) 56! B) 15! C) 63 D) 15
—— —— —— ——
42! 13! 8 14

7! + 8! 7! + 8 . 7! 7! . (1 + 8) 7 . 6! . 9 63
——— = ————— = ————— = ————— = —— Cevap: C
6! + 7! 6! + 7 . 6! 6! . (1 + 7) 6! . 8 8


4) 1998 KUR: 13! 8! 6!
——— - ( ——— + —— ) işleminin sonucu kaçtır?
(13-3)! 3! 2! . 6! 2! . 4!


A) 286 B) 258 C) 243 D) 146


13! 8 . 7 . 6! 6 . 5 . 4!
———— - ( ————— + ———— )
10! . 3! 2 . 6! 2 . 4!

13 . 12 . 11 . 10!
= ———————— - (28 + 15)
10! . 3. 2 . 1

= 286 – 43 = 243 Cevap: C




5) 2000 DPY: P (5,4) – 4! 3! . 0!
————— . ——— işleminin sonucu kaçtır?
P (3,3) + 2! 4!


A) 3 B) 6 C) 9 D) 12




5!
—— - 4!
1! 3! . 1 5! – 4! 1
——————— . ———— = ————— . ——
3! 4 . 3! 3! + 2! 4
—— + 2!
0!

5 . 4! – 4! 1 4! (5-1) 1 4! . 4 1 4 . 3 . 2! 1
= ————— . —— = —————— . —— = ——— . —— = ———— . ——
3 . 2! + 2! 4 2! (3+1) 4 2! . 4 4 2! 4


= 3 Cevap: A


6) 1991 FL: Ankara ile Konya arasında 8, Konya ile Adana arasında 9 farklı otobüs yolu olduğunu varsayalım. Bir otobüs her seferinde Konya’ya uğramak şartıyla, Ankara’dan Adana’ya kaç farklı şekilde gidebilir?
A) 9! B) 8! C) 72 D) 17

Ankara Konya Adana
8 . 9 = 72 Cevap: C

7) 1987 FL-1: A= {2,3,4,5,6} kümesinin elemanları birer defa kullanılarak oluşturulan 5 basamaklı sayılardan kaç tanesi 2 ile tam bölünebilir?
A) 48 B) 60 C) 72 d) 96

( 2,4,6 dan biri atanabilir, ancak bu şekilde bu sayı 2 ile tam bölünebilir)

2 ile tam bölünebilmesi için birler basamağına 2,4,6’dan biri gelebilir. Geriye kalan 4 rakamdan biri onbinler basamağına, geri kalan 3 rakamdan biri binler basamağına, kalan 2 rakamdan biri yüzler basamağına ve kalan 1 rakam da onlar basamağına yazılır. 5 basamaklı 2 ile tam bölünebilen toplam;
4 . 3 . 2 . 1 . 3 = 72 sayı vardır. Cevap: C

8) 1983 FL-2: Her basamağında {2,3,4,5,6,7} kümesinin farklı elemanları bulunan üç basamaklı kaç tek sayı yazılabilir?
A) 60 B) 120 C) 360 D) 720
(3,5,7’den biri gelebilir)
5 . 4 . 3 = 60 sayı yazılır.
Cevap: A
9) 1988 EML: (n+2)!
———— = 12 eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır?
(n+1)!

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10

(n+2) . (n+1)!
—————— = 12 n + 2 = 12
(n+1)!
n = 10 Cevap: D


10) 1997 FL-AÖL: P (n,4) = 5 P (n,3) ise n’nin değeri nedir?

A) 3 B) 4 C) 8 D) 10


n! n!
= ——— = 5 ————
(n-4)! (n-3)!

n . (n-1) . (n-2) . (n-3) . (n-4)! 5 . n . (n-1) . (n-2) . (n-3)!
= ————————————— = ———————————
(n-4)! (n-3)!


n-3 = 5 n=8 Cevap: C

11) 1982 EML: 7 öğrenci bir sıraya kaç değişik biçimde oturabilir?

A) 5040 B) 2500 C) 1400 D) 720



7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040 Cevap: A



12) 1985 EML: “ÖZLEM” kelimesindeki harflerle manalı ya da manasız sonu M ile biten kaç kelime yazılabilir? ( Yazılan kelimelerde her harf yalnız bir defa kullanılacak)
A) 720 B) 520 C) 120 D) 24


4 . 3 . 2 . 1 . 1 = 24 kelime yazılabilir. Cevap: D

13) 1997 FL-AÖL: n doğal sayı olmak üzere (n-1)! + n! + (n+1)! işleminin sonucu
————————
(n+1)!
aşağıdakilerden hangisine eşittir?


A) n+1 B) 2n C) n+1 D) n-1
——— —— —— ——
n n-1 n-1 n




(n-1)! + n . (n-1)! + (n+1) . n . (n-1)! (n-1)! . (1 + n + n² + n)
———————————————— = ————————————
(n+1)! (n+1) . n . (n-1)!


n² + 2n + 1 (n+1)² (n+1)
————— = ———— = ——— Cevap: A
n . (n+1) n . (n+1) n




14) 1992 KUR: 7 kişi yuvarlak bir masa etrafında kaç değişik şekilde oturabilir?
A) 7 B) 49 C) 720 D) 5040

(7-1)! = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 Cevap: C

15) 1989 FL-1: x ve y doğal sayı olmak üzere x>y dir. Buna göre x! in en küçük değeri
—
y!
aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2x B) y C) x+1 D) y+1
x!
—— in en küçük değerinin bulunması için x y’den 1 büyük olmalıdır.
y!

x=y + 1

x! (y+1)! (y+1) . y!
—— = ——— = ————— = y+1 Cevap: D
y! y! y!


n! (k-1)!
18) 1997 EML: ——— = 12 ve ——— = 15 ise, n+k kaçtır?
(n-1)! (k-2)!


A) 4 B) 24 C) 28 D) 32


n . (n-1)!
———— = 12 n = 12
(n-1)!

(k-1) . (k-2)!
—————— = 15 k= 16
(k-2)!


n+k = 12 + 16 = 28 Cevap: C




19) 1997 DPY: 7 kişilik bir aile, anne ile baba yan yana oturmak şartıyla, daire şeklindeki bir masa etrafında kaç değişik şekilde oturabilirler?
A) 24 B) 48 C) 120 D) 1240

Anne ile baba sürekli yan yana oturacağı için, ikisini 1 kişi kabul edersek 6 kişi daire şeklindeki masa etrafında (6-1)! = 5! Şeklinde oturabilir. Anne ile baba da kendi aralarında 2! Şeklinde oturabilir. O halde;
5! . 2! = 120 . 2 = 240 Cevap: D

20) 1997 DPY: 5 roman, 4 hikaye kitabının bulunduğu kitaplıktan, bir roman ile bir hikaye kitabının birlikte seçimi kaç türlü yapılabilir?
A) 2 B) 9 C) 15 D) 20

5 . 4 = 20 türlü yapılabilir. Cevap: D

8!
21) 1996 EML: x . 6! = ——— eşitliğinde x’in değeri kaçtır?
2!
A) 1 B) 14 C) 28 D) 48
8 . 7 . 6!
x . 6! = ————— 2 . x . 6! = 8 . 7 . 6!
2 . 1
2 . x = 56

x = 28 Cevap: C




22) 1993 FL: Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrudur?
A) 2! + 3! = 5!
B) 2 . 5! = 10!
C) 3! – 1! = 2!
D) 2! – 1! = 1!

A 2 + 6 ≠ 120
B 2 . 120 ≠ 3.628.800
C 6 –1 ≠ 2
D 2 – 1 = 1 √ Cevap: D


23) 1989 DPY: A = {a,b,c,d} kümesinin ikili permütasyonları kaç tanedir?
A) 6 B) 9 C) 11 D) 12
4! 4 . 3 . 2!
P (4,2) = ——— = ———— = 12 Cevap: D
(4-2)! 2!


P (8,8) 3! 2!
24) 1999 DPY: ———— : ( —— + —— ) işleminin sonucu kaçtır?
8! . 2 1! . 2! 3!

A) 1 B) 1 C) 1 D) 3
— — — —
2 3 5 20
8!
———
(8-8)! 3 . 2! 2!
= —————— : ( ———— + ———— )
8! . 2 1 . 2! 3 . 2!
———
1

8! 8!
—— ——
0! 1 1 10
= ————— : ( 3 + —— ) = —————— : ——
8! . 2 3 8! . 2 3
——— ———
1 1

8! 3 3
= ———— . —— = ——
8! . 2 10 20 Cevap: D




25) 1996 FL-AÖL : Bir rafta 5 tane Matematik, 2 tane Edebiyat ve 3 tane Tarih kitabı vardır. Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmamak üzere, kaç değişik şekilde yan yana sıralanabilir?
A) 30 B) 90 C) 1440 D) 8640

5 Matematik kitabını 1 kitap, 2 Edebiyat kitabını 1 kitap ve 3 Tarih kitabını da 1 kitap olarak düşünürsek, bunlar 3! şeklinde sıralanır. 5 Matematik kitabı kendi arasında 5!, 2 Edebiyat kitabı kendi arasında 2! ve 3 Tarih kitabı da kendi arasında 3! olarak sıralanabilir. Dolayısıyla;
= 3! . 5! . 2! . 3!
= 6 . 120 . 2 . 6
= 8640 Cevap: D


26) 1993 FL: A = { 1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile 2 basamaklı ve basamaklarındaki rakamları birbirinden farklı kaç sayı yazabiliriz?
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40

6 . 5 = 30 Cevap: C

27) 1992 ÖĞL: 8! = a ise ( 10! – 9! ) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 90a B) 81a C) 7a D) a

10! – 9! = 10 . 9! – 9! = 9! ( 10 – 1) = 9! . 9
= 9 . 8! . 9
= 81 . 8! = 81 a Cevap: B


28) 1997 EML: Ahmet’in değişik 5 tane gömleği ve 3 tane de kravatı vardır. Ahmet giyinmek için, bir gömlek ile bir kravatı kaç değişik biçimde seçebilir?
A) 8 B) 12 C) 15 D) 16

5 . 3 = 15 şekilde Cevap: C

29) 1991 EML: 3 erkek ve 4 kız öğrenci, bir tiyatroda yan yana 7 koltuğa erkekler bir arada, kızlar bir arada olmak üzere kaç değişik şekilde yerleştirilir?
A) 196 B) 208 C) 288 D) 302

3 erkeğe 1 erkek, 4 kıza 1 kız dersek, 2! şeklinde otururlar. 3 erkek kendi aralarında 3! şeklinde, 4 kız da kendi aralarında 4! şeklinde oturur.
= 2! . 3! . 4!
= 2 . 6 . 24
= 288 Cevap: C


1 1
30) 1997 DPY: —— P (5,4) - —— P (3,2) işleminin sonucu nedir?
5 3

A) 14 B) 22 C) 28 D) 36

1 5! 1 3!
—— ( ——— ) - —— ( ——— )
5 (5-4)! 3 (3-2)!

1 5! 1 3! 1 5 . 4! 1 3 . 2!
= —— . —— - —— . —— —— . —— - —— . —— = 4! – 2! = 24 – 2
5 1! 3 1! 5 1 3 1
= 22
Cevap: B
Kaynak:alıntı...

jöly' Alıntı:

xmen öğretmenine söyle bütün aldığın notlar benim...

Genişletmek için tıkla ...

Konu ilgili yere taşınmıştır
Teşekkürler jöly.

çok çok saolasınteşekkürler