Albert Einstein
Üye
Permütasyon Kombinezon Binom Açılımı Olasılık
Permütasyon Kombinezon Binom Açılımı Olasılık
Sıralı N liler
Sayma Kuralları
Saymanın Temel İlkesi
Çarpansal Kavramı
Faktöriyel Kuralları
Dönel Sıralama
Tekrarlı Permütasyonlar
Kombinasyon ve Özellikleri
Permütasyon ve Permütasyon Arasındaki Farklar
Binom Açılımı
Olasılık Fonksiyonu
Eş Olumlu Örnek Uzay
Koşullu Olasılık ve Bağımsız Olaylar
Çarpım Kuralı
KOMBİNASYON
Sıralı N liler
Sayma Kuralları
Saymanın Temel İlkesi
Çarpansal Kavramı
Faktöriyel Kuralları
Dönel Sıralama
Tekrarlı Permütasyonlar
Kombinasyon ve Özellikleri
Permütasyon ve Permütasyon Arasındaki Farklar
Binom Açılımı
Olasılık Fonksiyonu
Eş Olumlu Örnek Uzay
Koşullu Olasılık ve Bağımsız Olaylar
Çarpım Kuralı
KOMBİNASYON
KOMBİNASYON (GRUPLAMA)
olmak koşuluyla, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu denir.
n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı, K(n, r), Crn ya da ile gösterilir.
n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı:
Kural
olmak koşuluyla, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu denir.
n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı, K(n, r), Crn ya da ile gösterilir.
n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı:
Kural
Kural
n Î N olmak üzere, n elemanlı sonlu bir kümenin;
0 elemanlı alt kümelerinin sayısı :
1 elemanlı alt kümelerinin sayısı :
2 elemanlı alt kümelerinin sayısı:
. . .
n elemanlı alt kümelerinin sayısı:
olduğundan tüm alt kümelerinin sayısı:
n Î N olmak üzere, n elemanlı sonlu bir kümenin;
0 elemanlı alt kümelerinin sayısı :
1 elemanlı alt kümelerinin sayısı :
2 elemanlı alt kümelerinin sayısı:
. . .
n elemanlı alt kümelerinin sayısı:
olduğundan tüm alt kümelerinin sayısı:
BİNOM AÇILIMI
TANIM
n doğal sayı olmak üzere,
eşitliklerine binom açılımı denir.
sayılarına binom kat sayıları denir.
ifadelerinin her birine terim denir.
ifadesinde kat sayı, xn�1 ile yr terimin çarpanlarıdır.
n doğal sayı olmak üzere,
eşitliklerine binom açılımı denir.
sayılarına binom kat sayıları denir.
ifadelerinin her birine terim denir.
ifadesinde kat sayı, xn�1 ile yr terimin çarpanlarıdır.
Kural
(x + y)n açılımında n + 1 tane terim vardır.
(x + y)n açılımında her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n sayısına eşittir.
(x + y)n ifadesinin kat sayılarının toplamı x ile y yerine 1 yazılarak,
(1 + 1)n = 2n bulunur.
(x + y)n ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için x ile y yerine 0 yazılır.
(x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde baştan r + 1 inci terim:
(x + y)2n nin açılımındaki ortanca terim:
(x + y)n açılımında n + 1 tane terim vardır.
(x + y)n açılımında her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n sayısına eşittir.
(x + y)n ifadesinin kat sayılarının toplamı x ile y yerine 1 yazılarak,
(1 + 1)n = 2n bulunur.
(x + y)n ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için x ile y yerine 0 yazılır.
(x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde baştan r + 1 inci terim:
(x + y)2n nin açılımındaki ortanca terim:
PERMÜTASYON
A. SAYMANIN TEMEL KURALI
1. Toplama Kuralı
Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin elemanlarının sayısına eşittir.
Sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun.
olmak üzere,
1. Toplama Kuralı
Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin elemanlarının sayısına eşittir.
Sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun.
olmak üzere,
Sonuç
Ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.
2. Çarpma Kuralı
2 tane elemandan oluşan (a1, a2) ifadesine sıralı ikili denir. Benzer biçimde
(a1, a2, a3) ifadesine sıralı üçlü
(a1, a2, a3, a4) ifadesine sıralı dörtlü
. . .
(a1, a2, a3, ... , an) ifadesine sıralı n li denir.
A ve B sonlu iki küme olsun????:
s
= m
s(B) = n
olmak üzere,
s(A × B) = s × s(B) = m × n dir.
A × B kümesi birinci bileşenleri A dan ikinci bileşenleri B den alınan sıralı ikililerden oluşur.
2 tane elemandan oluşan (a1, a2) ifadesine sıralı ikili denir. Benzer biçimde
(a1, a2, a3) ifadesine sıralı üçlü
(a1, a2, a3, a4) ifadesine sıralı dörtlü
. . .
(a1, a2, a3, ... , an) ifadesine sıralı n li denir.
A ve B sonlu iki küme olsun????:
s
= ms(B) = n
olmak üzere,
s(A × B) = s
× s(B) = m × n dir.A × B kümesi birinci bileşenleri A dan ikinci bileşenleri B den alınan sıralı ikililerden oluşur.
Sonuç
İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte
m × n
yolla yapılabilir.
İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte
m × n
yolla yapılabilir.
B. FAKTÖRİYEL
1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir.
1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir.
Sonuç
C. PERMÜTASYON (SIRALAMA)
r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir.
n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı :
r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir.
n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı :
Sonuç
1. P(n, n) = n!
2. P(n, 1) = n
1. P(n, n) = n!
2. P(n, 1) = n
1. Dairesel (Dönel) Permütasyon
n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması denir.
Elemanlardan biri sabit tutularak n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n � 1)! ile bulunur.
n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması denir.
Elemanlardan biri sabit tutularak n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n � 1)! ile bulunur.
2. Tekrarlı Permütasyon
n tane nesnenin n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, ... , nr tanesi de r. çeşitten olsun.
n = n1 + n2 + ... + nr olmak üzere bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,
n tane nesnenin n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, ... , nr tanesi de r. çeşitten olsun.
n = n1 + n2 + ... + nr olmak üzere bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,
OLASILIK
A. OLASILIK TERİMLERİ
1. Deney
Bir madeni para atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini, bir zar atıldığında sonucun ne olacağını, tespit etme işlemidir.
2. Sonuç
Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) verilen isimdir. Her bir sonuç bir örnek nokta olarak da adlandırılır.????:
3. Örnek Uzay
Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümedir. Diğer bir ifadeyle örnek noktaların tamamını eleman kabul eden kümedir. (Örnek uzaya evrensel küme de denir.) Örnek uzay genellikle E ile gösterilir.
4. Olay
Bir örnek uzayın her bir alt kümesine verilen isimdir.
5. İmkansız Olay
E örnek uzayı için boş kümeye imkansız (olanaksız) olay denir.
1. Deney
Bir madeni para atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini, bir zar atıldığında sonucun ne olacağını, tespit etme işlemidir.
2. Sonuç
Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) verilen isimdir. Her bir sonuç bir örnek nokta olarak da adlandırılır.????:
3. Örnek Uzay
Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümedir. Diğer bir ifadeyle örnek noktaların tamamını eleman kabul eden kümedir. (Örnek uzaya evrensel küme de denir.) Örnek uzay genellikle E ile gösterilir.
4. Olay
Bir örnek uzayın her bir alt kümesine verilen isimdir.
5. İmkansız Olay
E örnek uzayı için boş kümeye imkansız (olanaksız) olay denir.
