Minkowski Uzayı

  • 19 Nisan 2010
  • 873 Okunma
  • 0 Cevap

Konu Durumu:
Daha fazla cevap için açık değil.
  1. Minkowski Uzayı - Minkowski Uzayı Nedir - Fizik - Minkowski Uzayı Hakkında - Fizikte Minkowski Uzayı



    Fizikte, Özel görelilik kuramının geçerli olduğu dört boyutlu uzayzamana Minkowski uzayı denir. Üç uzayboyutu ve bir zaman boyutu içerdiğinden buradaki "olay"lar dört boyutlu manifoldlar olarak ifâde edilir. Adını Almanmatematikçi Hermann Minkowski'den alır.

    Dörtyöneylerde Minkovski iççarpımı

    Bir dörtyöney ya da dörtvektör, dört adet koordinat bileşeni olan yöneye denir. Bu maddede dörtyöneyler, koyu ve büyük harflerle gösterilecektir; koyu ve küçük harflerle gösterilenler de üçyöneyler, yâni bilinen üç boyutlu yöneyler olacaktır.
    Bilindik iççarpıma oldukça benzeyen, hattâ bilindik iççarpım cinsinden yazılabilen Minkovski iççarpımı, dört boyutlu "hiperbolik" bir iççarpım sunmaktadır. Eğer dörtyöneyleri < Resmi açmak için tıklayın >
    ve < Resmi açmak için tıklayın >
    olarak seçersek, Minkovski iççarpımı, bileşenler cinsinden
    < Resmi açmak için tıklayın >
    olarak tanımlanabilir. Bilindik iççarpım cinsinden de
    < Resmi açmak için tıklayın >
    biçimini alır. Buradan hareketle bir dörtyöneyin boyu da,
    < Resmi açmak için tıklayın >
    =< Resmi açmak için tıklayın >
    =< Resmi açmak için tıklayın >
    =< Resmi açmak için tıklayın >
    olarak bulunur.

    Minkovski iççarpımı, Einstein toplam uzlaşımı kullanılarak da tanımlanabilir. < Resmi açmak için tıklayın >
    ifâdesi, birim yöneylerin < Resmi açmak için tıklayın >
    olan bileşenlerini ifâde edecek şekilde her dörtyöney, < Resmi açmak için tıklayın >
    ve < Resmi açmak için tıklayın >
    olarak yazılabilir. Burada birim yöneylerin Minkovski iççarpımları Minkovski metriğinin birim öğesine eşit olarak tanımlanır:
    < Resmi açmak için tıklayın >


    Böylece Minkovski iççarpımı
    < Resmi açmak için tıklayın >
    olarak yazılmış olur. Burada
    v&#957; = &#951;&#956;&#957;v&#956; olarak tanımlandığında iççarpım,
    < Resmi açmak için tıklayın >
    biçimini alır. Bu gösterim genel görelilik kuramı çerçevesinde tensör gösterimlerinde sıkça kullanılmaktadır.
    Daha ilerisi için genel görelilik kuramının biçimsel gelişimi maddesine bakınız Bilinen yöneylerde olanın tersine, dörtyöneylerin boyları çıkabilir. < Resmi açmak için tıklayın >
    olduğu zaman dörtyöneyin boyu sıfırdan küçük olacaktır. Bu durum hiperbolik sayılarda da böyle olduğundan bazen dörtyöneyler hiperbolik dördübir sayılarla da ifâde edilir:

    < Resmi açmak için tıklayın >
    Burada < Resmi açmak için tıklayın >
    olarak tanımlanan (ve hiçbiri 1e eşit olmayan) hiperbolik birim sayılardır. Dörtyöneyin boyu yine aynı kalır. Bazen sadece,
    < Resmi açmak için tıklayın >
    olarak da gösterildiği olur. Burada aynı şekilde < Resmi açmak için tıklayın >
    olarak tanımlanır. Bu durumda dörtyöneyin boyu
    < Resmi açmak için tıklayın >
    olarak elde edilir.


    Dörtkonum

    Bilinen şekliyle uzayda yöneyler, üç koordinatla gösterilirler: x, y, z. Ancak özel görelilikte ayrıca zaman koordinatı da uzayın, daha doğrusu uzayzamanın bir parçasıdır. Bu yüzden burada yöneyler, dört koordinata sahip olurlar. Örneğin bilinen biçimiyle bir konum yöneyi,
    < Resmi açmak için tıklayın >
    şeklindedir (Bu maddede küçük kalın harfler, üçyöneyleri betimleyecektir). Bu yöney, birimindedir. Bu yöneye bir de t koordinatını eklersek birim karmaşası olacağından onun yerine dördüncü koordinat ct olarak alınır. Burada c ışık hızı olduğundan bu koordinat yine metre biriminde olacaktır. O halde bir dörtyöney,
    < Resmi açmak için tıklayın >
    olarak gösterilmiş olur.

    Bir dörtkonumun boyu
    < Resmi açmak için tıklayın >
    olarak elde edilir. Burada dörtkonum bir Lorentz değişmezidir, yâni Lorentz dönüşümleri altında eylemsiz tüm başvuru çerçevelerine göre değişmezdir. dörtkonumu bir S başvuru çerçevesindeki gözlemcinin uzayzamandaki konumunu ve < Resmi açmak için tıklayın >
    dörtkonumu da S 'ye göre sabit u hızında hareket eden bir başka < Resmi açmak için tıklayın >
    çerçevesindeki gözlemcinin uzayzamandaki konumunu ifâde etsin. O halde,
    < Resmi açmak için tıklayın >
    olduğu Lorentz dönüşümleri kullanılarak kolaylıkla gösterilebilir. Bu durum ışık için de geçerlidir ki aslında ışık için dörtkonum doğrudan özel görelilik kuramının ikinci ilkesi olan ışık hızının her gözlemciye göre değişmezliği ilkesini ifâde eder. Eğer ışık her gözlemciye göre sabit hızla gidiyorsa, x=vt ifâdesinden dolayı her iki yönü de kapsayacak şekilde
    < Resmi açmak için tıklayın >
    olarak yazılır. Bu ifâdenin karesi alındığında
    < Resmi açmak için tıklayın >
    olur ve buradan
    c2t2 &#8722; x2 &#8722; y2 &#8722; z2 = 0 < Resmi açmak için tıklayın >
    çıkarsanır. Minkovski uzayzamanında bu türden bir yöneye ışınsı yöney denir. Bu yöneyler c ışık hızında giden parçacıkların hareket denklemidir. Herhangi bir gözlemci için
    < Resmi açmak için tıklayın >
    ise, bu tür yöneylere zamansı yöney denir. Bu yöneyler, c hızından düşük hızlarda hareket eden gözlemcileri betimler. Yine eğer bir gözlemci için,
    < Resmi açmak için tıklayın >
    oluyorsa (olabildiği, Minkovski iççarpımı altbaşlığında irdelenmişti) bu durumda bu yöneylere uzamsı yöney denir. Bu yöneyler de c hızından yüksek hızlardaki gözlemcileri betimler. Bu tür parçacıklara takyon dendiği de olur.


    Dörthız

    Bilindik biçimiyle bir hız yöneyi üç koordinata sahiptir:
    < Resmi açmak için tıklayın >
    Bir hız yöneyi, konum yöneyinin zamana göre türevi şeklinde tanımlandığına göre, yani &#964; özel zaman olmak üzere;
    < Resmi açmak için tıklayın >
    olduğundan, dörthız yöneyi de aynı şekilde dörtkonumun zaman göre türevi olarak tanımlanmalıdır:
    < Resmi açmak için tıklayın >
    Burada dt = &#947;d&#964; olduğundan
    < Resmi açmak için tıklayın >
    olduğu görülür.

    Ayrıca dörthızın boyunun
    < Resmi açmak için tıklayın >
    =&#951;&#956;&#957;U&#956;U&#957;=< Resmi açmak için tıklayın >
    =< Resmi açmak için tıklayın >
    olduğu görülebilir. Burada Lorentz çarpanı
    < Resmi açmak için tıklayın >
    olarak yeniden yazılabilir, o halde dörthız yöneyinin,
    < Resmi açmak için tıklayın >
    olduğu görülür.


    Dörtmomentum

    Momentum, kütle ile hızın çarpımıydı,
    < Resmi açmak için tıklayın >
    Burada da aynı usavurum devam ediyor ancak küçük ayrıntılar oluşmakta:

    < Resmi açmak için tıklayın >
    Burada m0 durgun kütle ve m göreli kütledir.
    Burada dikkat edilmesi gereken şey, dördüncü koordinatın sadece kütle oluşudur (sonuçta c bir sabit). Bu yüzden dörtmomentumun korunumu aslında Newton fiziğinde "momentumun korunumu" ile "kütlenin korunumu" ilkelerinin ikisini birden kapsar. Böylece iki denklemi
    < Resmi açmak için tıklayın >
    (momentumun korunumu)m1 + m2 = m'1 + m'2(kütlenin korunumu)olarak yazmak yerine,
    < Resmi açmak için tıklayın >
    (4-momentumun korunumu) gibi tek bir denklem yazılmış olur. Bunun yanı sıra < Resmi açmak için tıklayın >
    olduğundan aslında bu enerjinin de korunumudur ve dörtmomentumun dördüncü bileşenini enerji yapar:
    < Resmi açmak için tıklayın >
    O halde dörtmomentumun boyu, yukarıdaki dörthızın boyunda elde edilen sonuç kullanılarak????:

    < Resmi açmak için tıklayın >


    < Resmi açmak için tıklayın >
    =< Resmi açmak için tıklayın >
    =< Resmi açmak için tıklayın >
    şeklinde elde edilir. Ayrıca, doğrudan boyladığımızda
    < Resmi açmak için tıklayın >
    =< Resmi açmak için tıklayın >
    =< Resmi açmak için tıklayın >
    =< Resmi açmak için tıklayın >
    olduğundan, bu iki ifâde eşitlenince
    < Resmi açmak için tıklayın >
    < Resmi açmak için tıklayın >
    < Resmi açmak için tıklayın >
    ortaya özel göreliliğin en temel denklemlerinden biri olan momentum enerji bağıntısı, yâni
    < Resmi açmak için tıklayın >
    bağıntısı çıkar.


    Dörtivme

    İvme, hızın zaman göre türevidir. Bilindik ivme
    < Resmi açmak için tıklayın >
    şeklinde idi. Bu durumda dörtivme,
    < Resmi açmak için tıklayın >
    =< Resmi açmak için tıklayın >
    =< Resmi açmak için tıklayın >
    =< Resmi açmak için tıklayın >
    =< Resmi açmak için tıklayın >
    olarak elde edilir (burada < Resmi açmak için tıklayın >
    , üçivmedir). Bu if&#257;dedeki 4. bileşen hızla ivmenin nokta çarpımıdır. Bu çarpım, merkezcil hareketlerde sıfır olur, yani;????:

    < Resmi açmak için tıklayın >


    < Resmi açmak için tıklayın >
    olur. Eğer gözlemciyle aynı andaşlık düzlemindeki ivmeyi inceleyecek olursak, u=0 olacağından
    < Resmi açmak için tıklayın >
    bulunur. O halde, yalnız özel ivme < Resmi açmak için tıklayın >
    olduğunda dörtivme < Resmi açmak için tıklayın >
    olacaktır. Oysa < Resmi açmak için tıklayın >
    olsa bile dörthız sıfırlanmıyordu.
     


    Yazan: Albert Einstein
Konu Durumu:
Daha fazla cevap için açık değil.
Yüklüyor...
17/11/2018 - 00:59