Albert Einstein
Üye
Karmaşık sayılar nedir?
ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0 Þ x² = -1 ) karesi �1 olan reel sayı yoktur.
Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...
A. TANIM:
a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.????:
C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve Ö-1 = i } dir.
( i = Ö-1 Þ i² = -1 dir.)
z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.
Örnek:
Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 � 3i, Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.
Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.
Z2 = 2 - 3i Þ Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,
Z3 = Ö3 + i Þ Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 1,
Z4 = 7 Þ Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,
Z5 = 10i Þ Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.
Örnek:
x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.
Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i²
X1,2 = -b ± ÖΔ = -(-2) ± Ö16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir.
2a 2.1 2
Ç = { 1 � 2i, 1 + 2i } dir.
B. İ �NİN KUVVETLERİ
iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ...
Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.
Buna göre , n Î N olmak üzere,
i4n = 1
i4n + 1 = i
i4n + 2 = -1
i4n + 3 = -i dir
Örnek:
( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 � 1) işleminin sonucunu bulalım.????:
Çözüm:
i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1
i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i
i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i
i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,
(i24 + i15 + 1).(i99 + i100 � 1) = (-1 � i + 1).(-i + 1 � 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir.
C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ
Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.
Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir.
Z2 = c + di }
Örnek:
Z1 = a + 3 + 2bi + 3i
Z 2 = 8 + (a + b)i
Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım.
Çözüm:
Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,
a + 3 = 8 Þ a = 5
2b + 3 = a + b Þ 2b + 3 = 5 + b Þ b = 2 dir.
Örnek:
Z1 = (a + b + 3) + (a � 2)i
Z2 = 0
Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım.
Çözüm:
Z1 = Z2 olduğundan,
a � 2 = 0 Þ a =2,
a + b + 3 = 0 Þ 2 + b + 3 = 0 Þ b = -5 tir.
O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur.
D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
_
Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a � bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.
Örnek:
_
1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,
_
2) Z2 = Ö2 - Ö3i sayısının eşleniği Z2 = Ö2 + Ö3i,
_
3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,
_
4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,
_
5) Z5 = Ö3 - Ö2 sayısının eşleniği Z5 = Ö3 - Ö2 dir.
Örnek:
Z = a + bi olmak üzere,
_
3 . Z � 1 = 2(4 � i)
olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.
Çözüm:
_
3 . Z � 1 = 2(4 � i)
3 . (a � bi) � 1 = 8 � 2i
3a � 1 � 3bi = 8 � 2i
olduğundan, 3a �1 = 8 ve -3b = -2 dir.
3a � 1 = 8 Þ 3a = 9 Þ a = 3 ve
-3b = -2 Þ b = 2/3 tür.
O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3
Not:
__
1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )
.
2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni
_
karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m � ni sayısıdır.
E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM
1) Toplama - Çıkarma
Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ).
Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di )
Þ
Z2 = c + di Z1 � Z2 = ( a � c ) + ( b � di )
Örnek:
Z1 = 2 � 10i ve Z2 = 8 + 3i olduğuna göre,
Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...
A. TANIM:
a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.????:
C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve Ö-1 = i } dir.
( i = Ö-1 Þ i² = -1 dir.)
z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.
Örnek:
Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 � 3i, Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.
Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.
Z2 = 2 - 3i Þ Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,
Z3 = Ö3 + i Þ Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 1,
Z4 = 7 Þ Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,
Z5 = 10i Þ Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.
Örnek:
x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.
Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i²
X1,2 = -b ± ÖΔ = -(-2) ± Ö16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir.
2a 2.1 2
Ç = { 1 � 2i, 1 + 2i } dir.
B. İ �NİN KUVVETLERİ
iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ...
Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.
Buna göre , n Î N olmak üzere,
i4n = 1
i4n + 1 = i
i4n + 2 = -1
i4n + 3 = -i dir
Örnek:
( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 � 1) işleminin sonucunu bulalım.????:
Çözüm:
i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1
i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i
i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i
i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,
(i24 + i15 + 1).(i99 + i100 � 1) = (-1 � i + 1).(-i + 1 � 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir.
C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ
Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.
Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir.
Z2 = c + di }
Örnek:
Z1 = a + 3 + 2bi + 3i
Z 2 = 8 + (a + b)i
Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım.
Çözüm:
Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,
a + 3 = 8 Þ a = 5
2b + 3 = a + b Þ 2b + 3 = 5 + b Þ b = 2 dir.
Örnek:
Z1 = (a + b + 3) + (a � 2)i
Z2 = 0
Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım.
Çözüm:
Z1 = Z2 olduğundan,
a � 2 = 0 Þ a =2,
a + b + 3 = 0 Þ 2 + b + 3 = 0 Þ b = -5 tir.
O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur.
D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
_
Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a � bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.
Örnek:
_
1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,
_
2) Z2 = Ö2 - Ö3i sayısının eşleniği Z2 = Ö2 + Ö3i,
_
3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,
_
4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,
_
5) Z5 = Ö3 - Ö2 sayısının eşleniği Z5 = Ö3 - Ö2 dir.
Örnek:
Z = a + bi olmak üzere,
_
3 . Z � 1 = 2(4 � i)
olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.
Çözüm:
_
3 . Z � 1 = 2(4 � i)
3 . (a � bi) � 1 = 8 � 2i
3a � 1 � 3bi = 8 � 2i
olduğundan, 3a �1 = 8 ve -3b = -2 dir.
3a � 1 = 8 Þ 3a = 9 Þ a = 3 ve
-3b = -2 Þ b = 2/3 tür.
O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3
Not:
__
1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )
.
2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni
_
karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m � ni sayısıdır.
E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM
1) Toplama - Çıkarma
Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ).
Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di )
Þ
Z2 = c + di Z1 � Z2 = ( a � c ) + ( b � di )
Örnek:
Z1 = 2 � 10i ve Z2 = 8 + 3i olduğuna göre,
