Karmaşık sayılar nedir?

  • 19 Nisan 2010
  • 634 Okunma
  • 0 Cevap

Konu Durumu:
Daha fazla cevap için açık değil.
  1. ax² + bx + c = 0 denkleminin &#916; < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0 &THORN; x² = -1 ) karesi &#65533;1 olan reel sayı yoktur.

    Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...



    A. TANIM:

    a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.????:

    < Resmi açmak için tıklayın >



    C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve Ö-1 = i } dir.

    ( i = Ö-1 &THORN; i² = -1 dir.)

    z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.



    Örnek:

    Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 &#65533; 3i, Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.

    Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.

    Z2 = 2 - 3i &THORN; Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,

    Z3 = Ö3 + i &THORN; Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 1,

    Z4 = 7 &THORN; Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,

    Z5 = 10i &THORN; Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.



    Örnek:

    x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.



    Çözüm:



    Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.

    &#916; = b² - 4ac = ( -2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i²

    X1,2 = -b ± Ö&#916; = -(-2) ± Ö16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir.

    2a 2.1 2

    Ç = { 1 &#65533; 2i, 1 + 2i } dir.





    B. İ &#65533;NİN KUVVETLERİ



    iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ...

    Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.



    Buna göre , n Î N olmak üzere,



    i4n = 1

    i4n + 1 = i

    i4n + 2 = -1

    i4n + 3 = -i dir






    Örnek:


    ( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 &#65533; 1) işleminin sonucunu bulalım.????:

    < Resmi açmak için tıklayın >





    Çözüm:

    i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1

    i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i

    i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i

    i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,



    (i24 + i15 + 1).(i99 + i100 &#65533; 1) = (-1 &#65533; i + 1).(-i + 1 &#65533; 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir.

    C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ



    Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.



    Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 &#8596; (a = c ve b = d) dir.

    Z2 = c + di }



    Örnek:

    Z1 = a + 3 + 2bi + 3i

    Z 2 = 8 + (a + b)i

    Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım.



    Çözüm:

    Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,

    a + 3 = 8 &THORN; a = 5

    2b + 3 = a + b &THORN; 2b + 3 = 5 + b &THORN; b = 2 dir.



    Örnek:

    Z1 = (a + b + 3) + (a &#65533; 2)i

    Z2 = 0

    Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım.





    Çözüm:

    Z1 = Z2 olduğundan,

    a &#65533; 2 = 0 &THORN; a =2,

    a + b + 3 = 0 &THORN; 2 + b + 3 = 0 &THORN; b = -5 tir.

    O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur.



    D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ




    _

    Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a &#65533; bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.





    Örnek:
    _

    1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,

    _

    2) Z2 = Ö2 - Ö3i sayısının eşleniği Z2 = Ö2 + Ö3i,

    _

    3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,

    _

    4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,

    _

    5) Z5 = Ö3 - Ö2 sayısının eşleniği Z5 = Ö3 - Ö2 dir.



    Örnek:

    Z = a + bi olmak üzere,

    _

    3 . Z &#65533; 1 = 2(4 &#65533; i)

    olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.



    Çözüm:

    _

    3 . Z &#65533; 1 = 2(4 &#65533; i)

    3 . (a &#65533; bi) &#65533; 1 = 8 &#65533; 2i

    3a &#65533; 1 &#65533; 3bi = 8 &#65533; 2i

    olduğundan, 3a &#65533;1 = 8 ve -3b = -2 dir.



    3a &#65533; 1 = 8 &THORN; 3a = 9 &THORN; a = 3 ve

    -3b = -2 &THORN; b = 2/3 tür.



    O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3


    Not:



    __

    1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )

    .

    2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni

    _

    karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m &#65533; ni sayısıdır.





    E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM


    1) Toplama - Çıkarma



    Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ).



    Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di )

    &THORN;

    Z2 = c + di Z1 &#65533; Z2 = ( a &#65533; c ) + ( b &#65533; di )





    Örnek:



    Z1 = 2 &#65533; 10i ve Z2 = 8 + 3i olduğuna göre,


     


    Yazan: Albert Einstein
Konu Durumu:
Daha fazla cevap için açık değil.
Yüklüyor...
15/11/2018 - 11:54