Mali Özdemir
Üye
Işığın Kırınımı ( Konu Anlatımı )
Kırınım olayı genel anlamda Leonardo da Vinci tarafından bilinmesine rağ­men ışığın kırınımı ilk olarak Grimaldi (Frençeska Grimaldi) tarafından gözlenmiş ve etraflıca tasvir olunmuştur. Grimaldi' nin kırınım hakkındaki yazıları, 1665 yılında basılan kitabında mevcuttur.
Kırınım olayının dalga teorisi açısından izahı 1818 yılında ilk kez Fresnel tara­fından yapılmıştır. Fresnel dalgaların üst üste binerek girişim oluşturma imkânını dikkate alarak Huygens prensibini geliştirmiş ve yeni bir prensip ortaya koymuştur. Kırınım olayının incelenmesinde bu yeni prensip Huygens-Fresnel prensibi olarak adlandırılmıştır. Sonraları Kirchhoff kırınım teorisinin matematik temelini ortaya koymuştur.
Biz, kırınım olayını lineer optik açısından inceliyeceğiz. Fazla şiddetli ışık - akımlarının yayılmasına bağlı olarak lineer optiğin temel kanunlarında meydana gelen bazı sapmalar hakkında ise kısa izahlarla yetineceğiz.
6.1. HUYGENS-FRESNEL PRENSİBİ
Dalga cephesinin belirli bir andaki durumu bilinirse, Huygens'in dalga prensibi esas alınarak sonraki istenilen anlarda dalga cephesi; dolayısıyla da ışınların doğrultulan bulunabilir. Işının yayılma doğrultusu bu yolla bulunduğunda şöyle bir sonuç elde edilmiştir. Saydam olmayan ekran üzerindeki delikten veya yarıktan ışık geçince geometrik yayılma doğrultusundan (bir cins ortamda doğru yol boyunca yayılma doğrultusundan) bir sapma gözlenir. İşte ışığın karşısına çıkan engelleri böyle geçmesine kırınım denir.
Kırınım probleminin tam çözülmesi için ışığın; engeli geçtikten sonra şiddetini ve yeni yayılma doğrultularını, dolayısıyla, kırınım açılarını belirlemek gerekir. Sadece Huygens prensibi ile bu problem çözülemez. Ancak bu problem, girişim ile desteklenen Huygens-Fresnel prensibi yardımı ile çözülmüştür. Huygens-Fresnel prensibi, ışığın bir cins ortamda doğru yol boyunca yayılmasını dalga teorisi çerçevesinde açıklamaya da imkân verir.
Huygens-Fresnel Prensibi
Fresnel'e göre, kırınım anında meydana gelen ikinci (yardımcı) yarı küresel elemanter dalgalar uyumlu olduğundan ekranın her noktasında sonuç ışık şiddetini bulurken bu şekilde oluşmuş ikinci dalgaların girişimini nazara almak gerekir. Fresnel; ışık kaynağını kendi etrafında istenilen şekle sahip aydınlanmış kapalı bir yüzeyle temsil etmeyi teklif etmiştir. Kapalı yüzeyin her elemanter hisseleri karşılıklı uyumlu olduğundan ekranın her belirli bir noktasında sonuç şiddeti bulurken bütün elemanter hisselerin tesirlerini, onların genlik ve fazlarını dikkate alarak toplamak gerekir.
S kaynağından çıkan l dalga boylu ışık dalgasının bir cins ortamda B noktasına taraf yayıldığını gözönüne alalım (şekil 6.1). Genel halde kaynağı, istenilen şekilli kapalı bir yüzeyle temsil edebiliriz. Basit hal için böyle bir kapalı yüzey olarak; merkezi, kaynak olan R yarıçaplı küre yüzeyini (dalga cephesini) gözönüne alalım.
Huygens-Fresnel prensibine göre aydınlanmış kapalı yüzeyin (dalga cephesinin) her hissesi ikinci kaynakların (yardımcı kaynakların) merkezi olarak kabul olunabilir. Üzerinde Mj noktasının yerleştiği Dsjyüzeyinden çıkan ışık dalgasının B noktasında meydana getirdiği titreşim,
Ej = f(aj) Dsjcos(wt – kr - j0) = E0j cos(wt – kr - j0) (6.1)
şeklinde yazılabilir. Burada;
E0j = f(aj) Dsj
küçük Dsj yüzeyi tarafından B noktasında meydana getirilen titreşimin genliği, EO değeri; Dsjkaynağının birim uzaklıktaki genliği, jo başlangıç fazı, rj kaynak olarak kabul ettiğimiz Dsjyüzeyinden B noktasına kadar olan uzaklık, aj kaynak­tan seyir noktasına çizilen çizgi ile bu kaynak (Dsjyüzeyi) yüzeyinin normali arasındaki açı (kırınım açısı) ve f(aj) yardımcı dalga genliğinin doğrultu ile ilgisini karakterize eden katsayıdır.
Dsjyüzeyini öyle küçük seçmeliyiz ki, bu yüzey üzerinde aj ve rj pratik ola­rak sabit kalsın. Fresnel'e göre f (aj), a = 0 olduğunda maksimum değerini alırken, a büyüyerek ap/2 olduğunda. f(aj) de küçülerek sıfır değerini alır. S kaynağı ile B noktası arasında yerleştirilmiş saydam olmayan ekran üzerindeki tüm nokta­larda (delik yüzeyi hariç) yardımcı dalga genlikleri sıfırdır. Ekran üzerindeki delik açıldığında, yardımcı kaynak, yüzeyin delik bölgesinde istenilen (amaçla ilgili ola­rak) şekilde seçilmiş yüzeyden ve saydam olmayan ekranın (delik hariç) kalan yüzeyinden oluşur.
Işığın ekran maddesi ile karşılıklı etkisi nazara alınmaz. Yani, delik bölgesine ^ uygun gelen genlik gerek bu halde, gerekse saydam olmayan ekran olmasada aynıdır. Demek ki, saydam olmayan ekranın rolü sadece yardımcı kapalı yüzeyin belirli kısmından (bakılan halde delik bölgesi hariç kalan kısımdan) seyir ekranına gelen ışığı engellemek içindir. Aslında problemin hassas cüzümü için ekran maddesinin fiziksel özellikleri dikkate alınarak sınır şartları belirtilmelidir.
Sonuç Genliğin Hesaplanması
S kaynağından çıkan ışığı r yarıçaplı deliği olan saydam olmayan ekran yüzeyine yöneltelim. Delikte kırınım yaptıktan sonra B noktasına taraf yayılan ışığı gözönüne alalım (Şekil 6.2).
B noktasında sonuç genliği bulmak için (6.1) ifadesi ile belirtilen titreşimleri a yüzeyi boyunca toplamalıyız. Genellikle, bu problemin çözümü, matematik çözümün fazla karışık olmasından ötürü sıkıntılıdır. Bu sıkıntıyı ortadan kaldırmak amacıyla Fresnel, bant metodu denilen bir metod teklif etmiştir. Fresnel'in bant metoduna göre, dalga cephesi (aydınlanmış yüzey); merkezi Mo (SB doğru çizgisi ile s yüzeyinin kesim noktası) noktası olmak üzere s yüzeyi halka şekilli bantlara bölünür. Bölünme şartlarına göre komşu bantların dış sınırlarını B noktası ile birleştiren doğruların uzunlukları farkı, yarım dalga boyuna eşit olmalıdır. Yani;
M1B – M0B = M2B – M1B = ... = (Mj - Mj-1) B = .. = (6.2)
şartı yerine getirilmelidir. Dalga cephesini böyle halka bantlara bölmek için; mer­kezi; B noktasında olan, yarıçapları ise sırasıyla,
r0, r0 + , …., r0 + j
olan yarı küre yüzeyleri çizmek gerekir. (6.1) ifadesinden görüldüğü gibi j. Fresnel bandının B noktasında meydana getirdiği titreşimin genliği,
Eoj = f(aj) Dsj (6.3)
olur. Demek ki, j. bandın seyir noktasındaki genliği; j. bandın Dsj alanı, aj kırınım açısı ve j. bantla B noktası arasındaki rj uzaklığı ile ilgilidir. Komşu halka bantlardan B seyir noktasına gelen ışınların yollar farkı l/2' ye eşit olduğunda bu komşu tit­reşimler B noktasına zıt fazlarla gelir. Demek ki, komşu genlikler toplama işlemine zıt işaretlerle gireceklerdir. Söylediklerimiz dikkate alınırsa; B noktasında s yüze­yini oluşturan tüm Fresnel bantlarının sonuç genliği,
E0 = E01 – E02 + E03 – E04 + … E0i (6.4)
olur. Burada, j tek olursa E0; önündeki işaret pozitif, j çift olursa negatif olacaktır.
Sonuç genliği bulmak için numaraların artması ile ilgili olarak bant genliklerinin değişimine bakalım ve genlik birkaç tane bilinmeyenle ilgili olduğundan bu ilgiyi sırasıyla inceleyelim:
1. aj'nin sıfırdan p/2'ye kadar büyümesi ile f(aj) katsayısı (bantın meyil katsayısı) kendisinin mümkün olan en büyük değerinden sıfıra kadar küçülür. Demek ki, bant numarası büyüdüğünde, bandın meyil katsayısına bağlı olarak genlik küçülür.
2. (6.3) ifadesinden görüldüğü gibi genlik, rj nin büyümesine bağlı olarak küçülür.
3. Genlik, bant alanının büyüklüğü ile doğru orantılıdır. Fakat biz, bant ala­nının numara ile ilgisini henüz bilmiyoruz. Problemin çözümü için alan büyüklüyünün bant numarası ile ilgisini belirlemeliyiz. Kolayca ispat edilebilir ki, belirli bir yaklaşım içinde bant alanları numaralarla ilgili olmayıp sabit kalır. Yani,
Ds1 = Ds2 = Ds3 = … = Ds
dır. Yukarıda yazılan eşitliğin varlığını isbat etmek amacıyla j. bandın {burada j istenilen tamsayı değerleridir ve kaynakla seyir ekranı arasında yer alan yardımcı ekran üzerinde bulunan a deliğindeki bantların sayısını ifade eder.) yarıçapını p ile gösterelim {şekil 6.2). Bellidir ki, j. bandın alanı, sırasıyla; j ve j-1 numaralı bantların oluşturdukları yüzeylerin alanları farkına eşittir, j sayıda halka bantlarını içeren küre yüzeyi kısmının yüksekliğini hj ile gösterelim (şekil 6.2). Küre yarıçapı R olduğunda, sj = 2pRhj olur.
Yukarıdaki açıklamalar dikkate alınırsa,
Dsj = sj - sj-1 = 2pR(hj – hj-1) (6.5)
yazılabilir, hj yi bulmak için SMjC ve MjCB üçgenlerini dikkate alalım. Şeki6.2'den görüldüğü gibi : R2 – (R – hj)2 = rj2 – (r0 + hj)2 ve buradan, h = olur. Öte yandan, rj = r0j olduğundan şeklinde bulunur. l << r0 ve l<<R olduğu düşünülür ve bu sebepten 3. terim ihmal edilirse, olur. bu sonuç hj’nin ifadesinde yerine yazılırsa,
hj = (6.6)
olduğu görülür. Bu ifade (6.5) ifadesinde de dikkate alınırsa j. Fresnel bandının alanı için,
Dsj = pR = (6.7)
elde edilir. Görüldüğü gibi, bakılan yaklaşımla da (l << r0, l << R) Fresnel bandının alanı, numara ile ilgili olmadığı anlaşılır.
Böylece, yapılan incelemeler sonucu olarak görülür ki, bantların numaraları büyüdüğünde B noktasında bunlara uygun gelen genlikler eşdeğer olarak beraber (monoton) küçülür. Yani, E01>E02>E03>...olur. Ard arda gelen tabiî rakamlarda istenilen orta rakam diyelim 5 rakamı, komşu rakamlar toplamının yarısına [5={6+4}/2] eşit olduğu gibi burada da değişim benzer olduğundan, istenilen numaralı genlik; komşu numaralı genlikler toplamının yarısına eşit olur. Yani,
E0j = (6.8)
şeklinde ifade edilebilir. (6.8) ifadesi (6.4) ifadesini sadeleştirmeye imkân verir. Gerçekten, (6.4) ifadesinde tek numaralı genlikler, kendilerinin yarıları toplamı ile temsil edilirse;
E0 =
+ … + (6.9)
E0 =
+ (6.9a)
yazılabilir. (6.9) ve (6.9a) ifadeleri sırasıyla j nin tek ve çift değerlerine karşılık gelen ifadelerdir. (6.8) ifadesi (6.9) ve (6.9a) ifadelerinde nazara alınırsa parantez içindeki ifadelerin sıfıra eşit olduğu görülür. Böylece, (6.9) ve (6.9a) ifadeleri sırasıyla aşağıdaki ifadelere dönüşürler.
E0 = (6.10)
E0 = (6.10a)
Tekrar hatırlayalım ki, (6.10) ifadesi j nin tek, (6.10a) ifadesi ise çift değerlerine uygun gelir.
Genlikler bant numarasının artması ile küçüldüğünden j nin 1 den yeterince büyük değerlerinde E0j-1 = E0j alınabilir. Bu halde, (6.10a) ifadesi aşağıdaki gibi yazılabilir.
E0 = (6.10b)
(6.10) ve (6.10b) ifadeleri genelleştirilirse,
E0 = (6.11)
olur. Burada (+) işareti j'nin tek ve (-) işareti ise çift (j delikte yer alan Fresnel bantlarının sayısıdır.) değerlerine uygundur
Kırınım olayının dalga teorisi açısından izahı 1818 yılında ilk kez Fresnel tara­fından yapılmıştır. Fresnel dalgaların üst üste binerek girişim oluşturma imkânını dikkate alarak Huygens prensibini geliştirmiş ve yeni bir prensip ortaya koymuştur. Kırınım olayının incelenmesinde bu yeni prensip Huygens-Fresnel prensibi olarak adlandırılmıştır. Sonraları Kirchhoff kırınım teorisinin matematik temelini ortaya koymuştur.
Biz, kırınım olayını lineer optik açısından inceliyeceğiz. Fazla şiddetli ışık - akımlarının yayılmasına bağlı olarak lineer optiğin temel kanunlarında meydana gelen bazı sapmalar hakkında ise kısa izahlarla yetineceğiz.
6.1. HUYGENS-FRESNEL PRENSİBİ
Dalga cephesinin belirli bir andaki durumu bilinirse, Huygens'in dalga prensibi esas alınarak sonraki istenilen anlarda dalga cephesi; dolayısıyla da ışınların doğrultulan bulunabilir. Işının yayılma doğrultusu bu yolla bulunduğunda şöyle bir sonuç elde edilmiştir. Saydam olmayan ekran üzerindeki delikten veya yarıktan ışık geçince geometrik yayılma doğrultusundan (bir cins ortamda doğru yol boyunca yayılma doğrultusundan) bir sapma gözlenir. İşte ışığın karşısına çıkan engelleri böyle geçmesine kırınım denir.
Kırınım probleminin tam çözülmesi için ışığın; engeli geçtikten sonra şiddetini ve yeni yayılma doğrultularını, dolayısıyla, kırınım açılarını belirlemek gerekir. Sadece Huygens prensibi ile bu problem çözülemez. Ancak bu problem, girişim ile desteklenen Huygens-Fresnel prensibi yardımı ile çözülmüştür. Huygens-Fresnel prensibi, ışığın bir cins ortamda doğru yol boyunca yayılmasını dalga teorisi çerçevesinde açıklamaya da imkân verir.
Huygens-Fresnel Prensibi
Fresnel'e göre, kırınım anında meydana gelen ikinci (yardımcı) yarı küresel elemanter dalgalar uyumlu olduğundan ekranın her noktasında sonuç ışık şiddetini bulurken bu şekilde oluşmuş ikinci dalgaların girişimini nazara almak gerekir. Fresnel; ışık kaynağını kendi etrafında istenilen şekle sahip aydınlanmış kapalı bir yüzeyle temsil etmeyi teklif etmiştir. Kapalı yüzeyin her elemanter hisseleri karşılıklı uyumlu olduğundan ekranın her belirli bir noktasında sonuç şiddeti bulurken bütün elemanter hisselerin tesirlerini, onların genlik ve fazlarını dikkate alarak toplamak gerekir.
S kaynağından çıkan l dalga boylu ışık dalgasının bir cins ortamda B noktasına taraf yayıldığını gözönüne alalım (şekil 6.1). Genel halde kaynağı, istenilen şekilli kapalı bir yüzeyle temsil edebiliriz. Basit hal için böyle bir kapalı yüzey olarak; merkezi, kaynak olan R yarıçaplı küre yüzeyini (dalga cephesini) gözönüne alalım.
Huygens-Fresnel prensibine göre aydınlanmış kapalı yüzeyin (dalga cephesinin) her hissesi ikinci kaynakların (yardımcı kaynakların) merkezi olarak kabul olunabilir. Üzerinde Mj noktasının yerleştiği Dsjyüzeyinden çıkan ışık dalgasının B noktasında meydana getirdiği titreşim,
Ej = f(aj) Dsjcos(wt – kr - j0) = E0j cos(wt – kr - j0) (6.1)
şeklinde yazılabilir. Burada;
E0j = f(aj) Dsj
küçük Dsj yüzeyi tarafından B noktasında meydana getirilen titreşimin genliği, EO değeri; Dsjkaynağının birim uzaklıktaki genliği, jo başlangıç fazı, rj kaynak olarak kabul ettiğimiz Dsjyüzeyinden B noktasına kadar olan uzaklık, aj kaynak­tan seyir noktasına çizilen çizgi ile bu kaynak (Dsjyüzeyi) yüzeyinin normali arasındaki açı (kırınım açısı) ve f(aj) yardımcı dalga genliğinin doğrultu ile ilgisini karakterize eden katsayıdır.
Dsjyüzeyini öyle küçük seçmeliyiz ki, bu yüzey üzerinde aj ve rj pratik ola­rak sabit kalsın. Fresnel'e göre f (aj), a = 0 olduğunda maksimum değerini alırken, a büyüyerek ap/2 olduğunda. f(aj) de küçülerek sıfır değerini alır. S kaynağı ile B noktası arasında yerleştirilmiş saydam olmayan ekran üzerindeki tüm nokta­larda (delik yüzeyi hariç) yardımcı dalga genlikleri sıfırdır. Ekran üzerindeki delik açıldığında, yardımcı kaynak, yüzeyin delik bölgesinde istenilen (amaçla ilgili ola­rak) şekilde seçilmiş yüzeyden ve saydam olmayan ekranın (delik hariç) kalan yüzeyinden oluşur.
Işığın ekran maddesi ile karşılıklı etkisi nazara alınmaz. Yani, delik bölgesine ^ uygun gelen genlik gerek bu halde, gerekse saydam olmayan ekran olmasada aynıdır. Demek ki, saydam olmayan ekranın rolü sadece yardımcı kapalı yüzeyin belirli kısmından (bakılan halde delik bölgesi hariç kalan kısımdan) seyir ekranına gelen ışığı engellemek içindir. Aslında problemin hassas cüzümü için ekran maddesinin fiziksel özellikleri dikkate alınarak sınır şartları belirtilmelidir.
Sonuç Genliğin Hesaplanması
S kaynağından çıkan ışığı r yarıçaplı deliği olan saydam olmayan ekran yüzeyine yöneltelim. Delikte kırınım yaptıktan sonra B noktasına taraf yayılan ışığı gözönüne alalım (Şekil 6.2).
B noktasında sonuç genliği bulmak için (6.1) ifadesi ile belirtilen titreşimleri a yüzeyi boyunca toplamalıyız. Genellikle, bu problemin çözümü, matematik çözümün fazla karışık olmasından ötürü sıkıntılıdır. Bu sıkıntıyı ortadan kaldırmak amacıyla Fresnel, bant metodu denilen bir metod teklif etmiştir. Fresnel'in bant metoduna göre, dalga cephesi (aydınlanmış yüzey); merkezi Mo (SB doğru çizgisi ile s yüzeyinin kesim noktası) noktası olmak üzere s yüzeyi halka şekilli bantlara bölünür. Bölünme şartlarına göre komşu bantların dış sınırlarını B noktası ile birleştiren doğruların uzunlukları farkı, yarım dalga boyuna eşit olmalıdır. Yani;
M1B – M0B = M2B – M1B = ... = (Mj - Mj-1) B = .. = (6.2)
şartı yerine getirilmelidir. Dalga cephesini böyle halka bantlara bölmek için; mer­kezi; B noktasında olan, yarıçapları ise sırasıyla,
r0, r0 + , …., r0 + j
olan yarı küre yüzeyleri çizmek gerekir. (6.1) ifadesinden görüldüğü gibi j. Fresnel bandının B noktasında meydana getirdiği titreşimin genliği,
Eoj = f(aj) Dsj (6.3)
olur. Demek ki, j. bandın seyir noktasındaki genliği; j. bandın Dsj alanı, aj kırınım açısı ve j. bantla B noktası arasındaki rj uzaklığı ile ilgilidir. Komşu halka bantlardan B seyir noktasına gelen ışınların yollar farkı l/2' ye eşit olduğunda bu komşu tit­reşimler B noktasına zıt fazlarla gelir. Demek ki, komşu genlikler toplama işlemine zıt işaretlerle gireceklerdir. Söylediklerimiz dikkate alınırsa; B noktasında s yüze­yini oluşturan tüm Fresnel bantlarının sonuç genliği,
E0 = E01 – E02 + E03 – E04 + … E0i (6.4)
olur. Burada, j tek olursa E0; önündeki işaret pozitif, j çift olursa negatif olacaktır.
Sonuç genliği bulmak için numaraların artması ile ilgili olarak bant genliklerinin değişimine bakalım ve genlik birkaç tane bilinmeyenle ilgili olduğundan bu ilgiyi sırasıyla inceleyelim:
1. aj'nin sıfırdan p/2'ye kadar büyümesi ile f(aj) katsayısı (bantın meyil katsayısı) kendisinin mümkün olan en büyük değerinden sıfıra kadar küçülür. Demek ki, bant numarası büyüdüğünde, bandın meyil katsayısına bağlı olarak genlik küçülür.
2. (6.3) ifadesinden görüldüğü gibi genlik, rj nin büyümesine bağlı olarak küçülür.
3. Genlik, bant alanının büyüklüğü ile doğru orantılıdır. Fakat biz, bant ala­nının numara ile ilgisini henüz bilmiyoruz. Problemin çözümü için alan büyüklüyünün bant numarası ile ilgisini belirlemeliyiz. Kolayca ispat edilebilir ki, belirli bir yaklaşım içinde bant alanları numaralarla ilgili olmayıp sabit kalır. Yani,
Ds1 = Ds2 = Ds3 = … = Ds
dır. Yukarıda yazılan eşitliğin varlığını isbat etmek amacıyla j. bandın {burada j istenilen tamsayı değerleridir ve kaynakla seyir ekranı arasında yer alan yardımcı ekran üzerinde bulunan a deliğindeki bantların sayısını ifade eder.) yarıçapını p ile gösterelim {şekil 6.2). Bellidir ki, j. bandın alanı, sırasıyla; j ve j-1 numaralı bantların oluşturdukları yüzeylerin alanları farkına eşittir, j sayıda halka bantlarını içeren küre yüzeyi kısmının yüksekliğini hj ile gösterelim (şekil 6.2). Küre yarıçapı R olduğunda, sj = 2pRhj olur.
Yukarıdaki açıklamalar dikkate alınırsa,
Dsj = sj - sj-1 = 2pR(hj – hj-1) (6.5)
yazılabilir, hj yi bulmak için SMjC ve MjCB üçgenlerini dikkate alalım. Şeki6.2'den görüldüğü gibi : R2 – (R – hj)2 = rj2 – (r0 + hj)2 ve buradan, h = olur. Öte yandan, rj = r0j olduğundan şeklinde bulunur. l << r0 ve l<<R olduğu düşünülür ve bu sebepten 3. terim ihmal edilirse, olur. bu sonuç hj’nin ifadesinde yerine yazılırsa,
hj = (6.6)
olduğu görülür. Bu ifade (6.5) ifadesinde de dikkate alınırsa j. Fresnel bandının alanı için,
Dsj = pR = (6.7)
elde edilir. Görüldüğü gibi, bakılan yaklaşımla da (l << r0, l << R) Fresnel bandının alanı, numara ile ilgili olmadığı anlaşılır.
Böylece, yapılan incelemeler sonucu olarak görülür ki, bantların numaraları büyüdüğünde B noktasında bunlara uygun gelen genlikler eşdeğer olarak beraber (monoton) küçülür. Yani, E01>E02>E03>...olur. Ard arda gelen tabiî rakamlarda istenilen orta rakam diyelim 5 rakamı, komşu rakamlar toplamının yarısına [5={6+4}/2] eşit olduğu gibi burada da değişim benzer olduğundan, istenilen numaralı genlik; komşu numaralı genlikler toplamının yarısına eşit olur. Yani,
E0j = (6.8)
şeklinde ifade edilebilir. (6.8) ifadesi (6.4) ifadesini sadeleştirmeye imkân verir. Gerçekten, (6.4) ifadesinde tek numaralı genlikler, kendilerinin yarıları toplamı ile temsil edilirse;
E0 =
+ … + (6.9)
E0 =
+ (6.9a)
yazılabilir. (6.9) ve (6.9a) ifadeleri sırasıyla j nin tek ve çift değerlerine karşılık gelen ifadelerdir. (6.8) ifadesi (6.9) ve (6.9a) ifadelerinde nazara alınırsa parantez içindeki ifadelerin sıfıra eşit olduğu görülür. Böylece, (6.9) ve (6.9a) ifadeleri sırasıyla aşağıdaki ifadelere dönüşürler.
E0 = (6.10)
E0 = (6.10a)
Tekrar hatırlayalım ki, (6.10) ifadesi j nin tek, (6.10a) ifadesi ise çift değerlerine uygun gelir.
Genlikler bant numarasının artması ile küçüldüğünden j nin 1 den yeterince büyük değerlerinde E0j-1 = E0j alınabilir. Bu halde, (6.10a) ifadesi aşağıdaki gibi yazılabilir.
E0 = (6.10b)
(6.10) ve (6.10b) ifadeleri genelleştirilirse,
E0 = (6.11)
olur. Burada (+) işareti j'nin tek ve (-) işareti ise çift (j delikte yer alan Fresnel bantlarının sayısıdır.) değerlerine uygundur
